《圓周角和圓心角的關系》課題教案

這是《圓周角和圓心角的關系》課題教案，是優秀的數學教案文章，供老師家長們參考學習。

　　教 學目 標

　　知識與技能

　　1.掌握圓周角定理幾個推論的內容.

　　2.會熟練運用推論解決問題.

　　改進建議

　　(請屬名并標注單位)

　　過程與方法

　　1.培養學生觀察、分析及理解問題的能力.

　　2.在學生自主探索推論的過程中，經歷猜想、推理、驗證等環節，獲得正確的學習方式.

　　情感態度與價值觀

　　培養學生的探索精神和解決問題的能力.

　　教學重點

　　圓周角定理的幾個推論的應用.

　　教 學

　　難 點

　　理解幾個推論的“題設”和“結論”.

　　教 法 與

　　方 法

　　指導探索法.

　　教 學 活 動 過 程 設 計

　　步 驟

　　教 師 活 動

　　學 生 活 動

　　一、

　　創 設情 境導 入新 課

　　[師]請同學們回憶一下我們前幾節課學習了哪些和圓有關系的角?它們之間有什么關系?

　　[師]我們在分析、證明上述定理證明過程中，用到了些什么數學思想方法?

　　[師]請同學們回憶一下我們前幾節課學習了哪些和圓有關系的角?它們之間有什么關系?

　　[師]我們在分析、證明上述定理證明過程中，用到了些什么數學思想方法?

　　[生]學習了圓心角和圓周角、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.即圓周角定理.

　　[生]分類討論、化歸、轉化思想方法.

　　一、

　　創 設情 境導 入新 課

　　[師]同學們請看下面這個問題：(出示投影片§3.3.2 A)

　　已知弦AB和CD交于⊙O內一點P，如下圖.

　　求證：PA·PB=PC·PD

　　.要想解決這個問題.我們需先進行下面的學習.

　　[師生共析]要證PA·PB=PC·PD，可證.由此考慮證明以PA、PC為邊的三角形與以PD、PB為邊的三角形相似.由于圖中沒有這兩個三角形，所以考慮作輔助線AC和BD.要證△PAC∽△PDB.由已知條件可得∠APC與∠DPB相等，如能再找到一對角相等.如∠A=∠D或∠C=∠B.便可證得所求結論.如何尋找∠A=∠D或∠C=∠B

　　二、

　　嘗 試探 究解 決問 題

　　[師]請同學們畫一個圓，

　　以A、C為端點的弧所對的圓

　　周角有多少個?(至少畫三個)

　　它們的大小有什么關系?你是

　　如何得到的?

　　[師]大家想一想，我們能否用驗證的方法得到上圖中的∠ABC=∠ADC=∠AEC?(同學們互相交流、討論)

　　[師]通過剛才同學的學習，我們上面提出的問題∠A=∠D或∠C=∠B找到答案了嗎?

　　[師]如果我們把上面的同弧改成等弧，結論一樣嗎?

　　[師]通過我們剛才的探討，我們可以得到一個推論.

　　[生] 弧AC所對的圓周角有無數個，它們的大小相等，我是通過度量得到的.

　　[生]由圖可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所對的圓周角，根據上節課我們所學的圓周角定理可知，它們都等于圓心角∠AOC的一半，所以這幾個圓周角相等.

　　[生]找到了，它們屬于同弧所對的圓周角.由于它們都等于同弧所對圓心角的一半，這樣可知∠A=∠D或∠C=∠B.

　　[生]一樣，等弧所對的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半，這樣，我們便可得到等弧所對的圓周角相等.

　　在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

　　[師]若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結論成立嗎?請同學們互相議一議.

　　注意：(1)“同弧”指“同一個圓”.

　　(2)“等弧”指“在同圓或等圓中”.

　　(3)“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”.

　　[師]接下來我們看下面的問題：

　　如右圖，BC是⊙O

　　的直徑，它所對的圓周

　　角是銳角、直角，還是

　　鈍角?你是如何判斷的?

　　(同學們互相交流，討論)

　　[師]反過來，在下

　　圖中，如果圓周角∠BAC

　　=90°，那么它所對的弦

　　BC經過圓心O嗎?為什么?

　　[師]通過剛才大家的交流，我們又得到了圓周角定理的又一個推論：

　　直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

　　注意：這一推論應用非常廣泛，一般地，如果題目的已知條件中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角——直角：如果需要直角或證明垂直時，往往作出直徑即可解決問題.

　　[師]為了進一步熟悉推論，我們看下面的例題.(出示投影片§3.3.2 B)

　　[例]如圖示，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系?為什么?

　　[生]如下圖，結論不

　　成立.因為一條弦所對的

　　圓周角有兩種可能，在弦

　　不是 直徑的情況下是不相

　　等的.

　　[生]直徑BC所對的圓周角是直角，因為一條直徑將圓分成了兩個半圓，而半圓所對的圓心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°.

　　[生]弦BC經過圓心O，因為圓周角∠BAC=90°.連結OB、OC，所以圓心角∠BOC=180°，即BOC是一條線段，也就是BC是⊙O的一條直徑.

　　[師生共析]由于AB是⊙O的直徑，故連接AD.由推論直徑所對的圓周角是直角，便可得AD⊥BC，又因為△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的二線合一，可證得BD=CD.

　　下面哪位同學能敘述一下理由?

　　[師]通過我們學習圓周角定理及推論，大家互相交流，討論一下，我們探索上述問題時，用到了哪些方法?試舉例說明.

　　[生]BD=CD.理由是：

　　連結AD.

　　∵AB是⊙O的直徑，

　　∴∠ADB=90°.

　　即AD⊥BC.

　　又∵AC=AB,

　　∴BD=CD.

　　[生]在得出本節的結論過程中，我們用到了度量與證明的方法，比如說在研究同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;還學到了分類與轉化的方法.比如說在探索圓周角定理過程中，定理的證明應分三種情況，在這三種情況中，第一種情況是特殊情況，是證明的基礎，其他兩種情況都可以轉化為第一種情況來解決，再比如說，學習圓周角定義時，可由前面學習列的圓心角類比得出圓周角的概念……

　　三、

　　課 堂練 習鞏 固新 知

　　P107 隨堂練習

　　1.為什么有些電影院的坐位排列(橫排)呈圓弧形?說一說這種設計的合理性.

　　2. 如下圖，⊙O的直徑AB=10 cm，C為⊙O上的一點，∠ABC=30°，求AC的長.

　　解：∵AB為⊙O的直徑.

　　∴ACB=90°.

　　又∵∠ABC=30°，

　　∴AC= AB= ×10=5(cm).

　　答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等.

　　四、

　　課 堂小 結布 置作 業

　　課時小結

　　本節課我們學習了圓周角定理的2個推論，結合我們上節課學到的圓周角定理，我們知道，在同圓或等圓中，根據弦及其所對的圓心角，弧，弦、弦心距之間的關系，實現了圓中這些量之間相等關系的轉化，而圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關系，因此，最終實現了圓中的角(圓心角和圓周角)，線段(弦、弦心距)、弧等量與量之間相等關系的相等相互轉化，從而為研究圓的性質提供了有力的工具和方法.

　　課后作業

　　課本P108 習題3.5

　　板

　　書

　　設

　　計

　　§ 3.3.2 圓周角和圓心角的關系(二)

　　一、推論一：

　　在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

　　二、推論二：

　　直徑所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑.

　　三、例題

　　四、隨堂練習

　　五、做一做(反證法)

　　六、課時小結

　　七、課后作業

　　教學反思